Replica in Random Matrix

Stieltjes变换概述

定义

Stieltjes变换是一个用于分析和研究实数轴上测度（或函数）性质的工具。对于一个实数轴上的测度 $\mu$，它的Stieltjes变换 $ G(z) $ 定义为：

$$G(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\mu(x)}{x - z}$$

其中，$ z $ 是复平面上的一个点，且不在实数轴上的支撑集（即测度 $\mu$ 为零的区域）内。

对于一个函数 $ f(x) $ 来说，如果我们把它视为测度的密度函数，则Stieltjes变换可以写成：

$$G(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x) \, dx}{x - z}$$

逆变换

Stieltjes变换的逆变换用于从变换后的函数恢复原始测度或密度函数。对于谱密度 $ \rho(x) $，我们有：

$$\rho(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \Im[G(x + i\epsilon)]$$

其中，$ \Im[G(x + i\epsilon)] $ 表示 $ G(z) $ 在 $ z = x + i\epsilon $ 处的虚部。

应用示例：Wigner矩阵的谱密度

背景

Wigner矩阵是一个对称的随机矩阵，其元素是独立同分布的随机变量。设 $ W $ 是一个 $ N \times N $ 的Wigner矩阵，其元素 $ W_{ij} $ 满足以下条件：

• $ W_{ij} = W_{ji} $
• 对于 $ i \neq j $， $ W_{ij} $ 是均值为零、方差为 $ \frac{1}{N} $ 的独立随机变量
• 对角元素 $ W_{ii} $ 是均值为零、方差为 $ \frac{2}{N} $ 的独立随机变量

Wigner半圆定律描述了在 $ N \to \infty $ 的极限下，Wigner矩阵的特征值分布趋向于一个半圆分布。

自洽方程推导

随机矩阵 $ W $ 的Stieltjes变换 $ G(z) $ 定义为：

$$G_N(z) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{1}{\lambda_i - z}$$

在大尺寸极限下， $ G_N(z) $ 的期望值趋向于一个确定的值 $ G(z) $，满足自洽方程：

$$G(z) = \frac{1}{-z - G(z)}$$

这个方程通过以下步骤推导：

1. 将Stieltjes变换定义为矩阵的特征值求和。
2. 利用矩阵的迹和逆矩阵的关系，展开逆矩阵。
3. 在大尺寸极限下，假设矩阵元素足够小，进行平均场近似。
4. 得到自洽方程，并通过二次方程求解。

解析自洽方程

解自洽方程 $ G(z) = \frac{1}{-z - G(z)} $：

$$G(z)^2 + zG(z) + 1 = 0$$

解得：

$$G(z) = \frac{-z \pm \sqrt{z^2 - 4}}{2}$$

选择满足 $ \Im[G(z)] \geq 0 $ 的分支：

$$G(z) = \frac{-z + \sqrt{z^2 - 4}}{2}$$

恢复谱密度

根据逆Stieltjes变换公式，谱密度 $ \rho(x) $ 为：

$$\rho(x) = \frac{1}{\pi} \text{Im}[G(x + i\epsilon)]$$

代入 $ G(z) $ 的表达式，计算得：

$$\rho(x) = \frac{1}{2\pi} \sqrt{4 - x^2}$$

这正是Wigner半圆分布的谱密度。

总结

Stieltjes变换在随机矩阵理论中是一个强大的工具，特别适用于谱密度的计算。通过Stieltjes变换，可以将实数轴上的谱密度问题转化为复平面上的解析问题，利用其逆变换可以从复平面上的函数恢复原始的谱密度，从而简化了复杂的计算过程。